vendredi 22 mai 2015

Question d'entretien en finance de marché: Options Européennes vs Americaines

Question d'entretien en finance de marché: Options américaines vs européenes
Dans cet article, je poursuis la démarche de répondre point par point à la liste de questions proposée par l'université Pierre et Marie Curie.

Aujourd’hui une question très classique, mais qui mérite une réponse claire:
Pourquoi le prix d’une option américaine est différent de celui d’une option européenne ?

 Approche Qualitative


 Rappelons qu'une option européenne ne peut être exercée qu'a sa date de maturité, tandis qu'une option américaine peut être exercée à n'importe quel moment avant sa date de maturité.

Toutefois quel que soit le mode d’exercice, les deux types d'option sont sujettes à la même formule d'évaluation de leur pay-off. Pour un call, la fonction de pay-off est donc la même pour les deux types d'Options : max{St-K,0}  (0).

Sans que cela constitue une caractérisation, on notera que les options américaines sont plus échangées sur les marchés organisés, tandis que les européennes  sont plus échangées sur les marché OTC. Sur le plan technique, on notera que les dates d'expirations des options standard son fixées à des dates précises du mois, qui sont différentes pour les options américaines et européennes.

Par contre, il est important de noter que le théorème de Black&Scholes porte sur les options européenes. Il n'est pas directement applicable aux options américaines. Celles-ci n'admettent pas en général de solutions analytiques exactes, il faut soit aller chercher une forme d'approximation à partir d'un modèle, soit utiliser une méthode numérique pour calculer leur prix. Il n'y a pas de consensus sur les méthodes de pricing des options américaines. Nous allons présenter une méthode simple d'approximation numérique du prix des options basé sur des incréments de temps discrets et utilisant les arbres binomiaux, appelée approche de Cox-Ross-Rubinstein.

Nous allons clore cette section qualitative, en ajoutant que les options américaines peuvent être utilisées comme des options américaines, mais que l'inverse n'est pas vrai. Les options américaines donnent accès à plus de droits que les options européennes, et donc leur prix est supérieur au prix des options européennes de même caractéristiques.


Approche Quantitative: Pricing des options américaines par arbres binomiaux.


Nous allons détailler dans cette section une approche statistique simple pour évaluer les options américaines. Cette approche peut aussi être utilisée pour évaluer les options européennes, et converge vers la formule de Black & Scholes: il s'agit de la méthode de Cox-Ross-Rubinstein.

arbre binomial pricing options américaines
Notons Δt un petit incrément de temps. A t=0, notre sous-jacent à un prix S. Nous considérons qu'a partir de ce point, notre prix peut s’apprécier par un facteur u (u>1) avec une probabilité p, ou se déprécier d'un facteur d(d<1) avec une probabilité 1-p.

Il est possible de multiplier ce raisonnement sur plusieurs intervalles k.Δt de manière à évaluer le prix de l'option à un instant souhaité.

Nous allons utiliser une probabilité risque neutre pour déterminer le prix de notre option. Rappelons que selon l’hypothèse risque neutre, on a:
  • L'espérance de rendement associée à tous les placements est de r, ou r est le taux sans risque.
  • On peut utiliser ce taux sans risque r pour actualiser tous les flux associé à notre placement.
Supposons que notre placement offre des coupons/dividendes de rendement q. Selon l’hypothèse rique neutre, la valeur présente de notre placement est E(S)=Se(r-q)Δt(a)

Cette espérance est la même que celle calculée par notre arbre binomial qui vaut p.S.u+(1-p).d.S (b). on a :

e(r-q)Δt=p.u+(1-p)d      (1)

Nous allons maintenant évaluer la variance de notre produit. Soit X une variable aléatoire réelle. on a Var(X)=E(X2)-(E(X))2. Notons R l'accroissement en % de notre sous-jacent (S(t+Δt)-S(t)/S(t)). u peut s'écrire comme 1+R. En utilisant (a) et (b), on a:

Var(1+R)=Var(R)=p.u2+(1-p)2d2-e2(r-q)Δt

En nous plaçant sous les hypothèses de Black&Scholes sur la nature Log-normale des accroissements des cours, on a:
Var(1+R)=Var(R)=σ2.Δt

p.u2+(1-p)2.d2-e2(r-q)Δt2.Δt      (2)

Aux équations (1) et (2), Cox-Ross-Rubinstein rajoutent la relation suivante:
u=1/d    (3)

En utilisant les équations (1), (2), (3), on obtient les égalités suivantes:
Cox-Ross-Rubinstein
En appliquant ces formules, on obtient une expression de la valeur de S en k.Δt:

S0ujdi-j, j=0,1,....,k

De proche en proche, en utilisant (0) et en partant des feuilles de l'arbre, il est possible de déduire la valeur de l'option selon la probabilité risque neutre à T=k.Δt telle que la valeur de l'option à T soit:

max{St-K,0}
Le prix de l'option est calculé comme la valeur actualisée par r de l'espérance du prix de l'option calculée au pas de temps ultérieur (anti chronologiquement).

Pour une option américaine, il est nécessaire de vérifier à chaque pas de temps si l'exercice prématuré de l'option est plus avantageux.

mardi 19 mai 2015

Question d'entretien en finance de marché: impact d'une baisse des taux sur le marché Equity

Question d'entretien en finance de marché: impact d'une baisse des taux sur le marché Equity Ben bernanke
Comme nous l'avions déjà fait dans un post précédent, nous allons essayer de répondre à une question du questionnaire de finance de marché de  l’université Pierre et Marie Curie

Nous allons pour cela nous aider d'un document de 2003 écrit par Ben Bernanke alors qu'il faisait partie du board des gouverneurs federaux :






Notre Question:
Quelle est l'influence d'une baisse des taux directeurs sur le marché equity ?

Notre réponse:


Cette question peut donner à plusieurs explications d'ordre qualitatifs. La réponse est qu'une baisse des taux directeurs entraine une hausse des marché Equity.

La première justification que l'on peut fournir concerne le comportement des investisseurs. En effet, lorsque les taux baissent, le marché obligataire devient moins attrayant pour les investisseurs, et on observe une fuite vers les marchés actions dans l'espoir de percevoir des dividendes. Cette fuite a pour effet de déclencher une hausse des prix des actions par augmentation de la demande.

La deuxième explication est structurelle: Comme les entreprises ont accès à un  financement par le crédit moins cher, leur levier et leur croissance sont boostées. Pareillement, si le coût du crédit est faible, les entreprises auront moins tendance à se financer en émettant des actions, ce qui fera que le prix des actions sera moins dilué donc plus cher.

Enfin si l'on abat notre argument massue, ce mouvement est celui qu'on observe sur le marché. En 2003, dans l'étude mentionnée ci-dessus, Ben Bernanke à monter qu'une baisse de 25 bps se traduisait par une hausse de 1% du marché action.

Il donne pour explication de ce mouvement deux justifications:
1. Une baisse des taux inattendue se traduit par une espérance de dividendes plus élevée.
2. Cette baisse se traduit aussi par un equity premium plus élevé.




lundi 18 mai 2015

Production de la mesure de value at risk (VaR)

Value at risk VaR Historique Paramétrique
Cette article fait partie d'une série d'article sur les mesures de risque financier: Introduction à la VaR, EEPE et la CVA.

Cet article doit beaucoup à l'ouvrage de risque financier de Glynn A. Holton, Value-at-Risk: Theory and Practice.















Value at risk: une formalisation


Toute mesure de risque doit mesurer deux paramètres distincts: une exposition et un degré d'incertitude qui reflète une distribution de probabilité des événements adverses affectant un portefeuille. Par ailleurs, cette mesure est toujours associée à un horizon de temps T. T prend couramment la valeur 1 an ou 1 jour. Dans le cas de la VaR, le degré d'incertitude est fixé: on parle de VaR à 99% ou 95%.

Dans le cas le plus simple, on peut construire une mesure de la VaR aisément.Il faut pour cela faire l’hypothèse d'une distribution de probabilité suivant loi normale normée centrée réduite. Dans ce cas, il suffit seulement de calculer l’écart type σ sur la période concernée (par exemple 1 an ou 1 jour), on a alors:
VaR=σT.N-1(X)

ou
X est le degré de certitude associé à la mesure de VaR
N-1 est la loi normale cumulative inversée
σT est l'écart type calculé  sur la période [0;T]

Mais dans le cas général, cette approximation ne permet pas de modéliser correctement les fluctuations d'un portefeuille complexe de dérivés. On est donc obligé de mettre en place une procédure pour déterminer une distribution de probabilité des événements adverses affectant le portefeuille. Il y de nombreuses façon de construire cette distribution, que nous allons détailler, mais pour l'associer à une mesure, il est nécessaire de pouvoir construire une métrique. Dans le cas de la VaR, la métrique qui s'applique à la distribution de probabilité est la l'estimateur par quantile.

Caractérisation de l'estimateur par quantile

Cette section suit les notations du cours de Peter Haas sur l'estimation des quantiles

Notons X la variable aléatoire réelle représentant les pertes d'un portefeuille. Sa fonction de répartition FX est inconnue. Nous définissons une probabilité p par exemple 0.01% correspondant à notre degré de certitude, la VaR est lié correspond au montant négatif q des pertes tel que : Pr(X<q)=p par définition de la fonction de répartition, on a FX(q)=P soit  qp=FX-1(p).
Comme la FX est inconnue, ou n'accepte pas de forme analytique, nous introduisons l’estimateur statistique,  Qn=Fn-1 (p) tel que:
Estimateur de quantiles

Ou X1, X2,...,Xn sont des variables indépendantes et identiquement distribuées. Une façon équivalente de définir  cet estimateur est par un ordonnancement des Xi précédents. Soit  X(1), X(2),...,X(n) les valeurs telles que X(1)≤ X(2)≤...≤X(n) , on a :
Estimateur de quantiles
Qn est la np eme plus petite réalisation de Xi.

La convergence de cet estimateur est garantie par le théorème central limite. Il faut noter toutefois que le degré d'erreur de l'estimateur est dépendant de la "normalité" de la distribution. Plus la distribution exhibe des caractéristiques non normale, à savoir Kurtosis et asymétrie (skewness), plus le degré d'erreur est important. Notons qu'un autre estimateur recommandée par le comité de Bale III, l'expected shortfall est plus résilient dans le cas général pour les distributions présentant des "fat tails".

On notera que la convergence de cette estimateur introduit un degré d'erreur qui est inversement proportionnel à la racine de n et proportionnel à la variance de X. De sorte que si on augmente le nombre d'observations par 4, on on observe une amélioration de l'estimation par un facteur de 2...

Erreur estimateur quantile

Notre Framework de calcul de la VaR


Nous allons considérer le calcul d'une VaR à un horizon T. Ce mécanisme peut aisément être adapté à n pas de temps t1,...,tn. En ne considérant qu'un intervalle de temps, on notera t0 la date initiale de notre intervalle et t1 la fin de notre horizon de temps.

On notera 0P,1P la valeur de notre portefeuille respectivement à t0 et t1. On notera 1L le montant des pertes en t1. on a  1L=0P-1P. Au début de la simulation seul 0P est connu avec certitude.

La VaR que nous souhaitons obtenir sera un quantile choisi de la distribution de  1L sur notre horizon de temps.

Pour calculer la valeur de notre portefeuille, nous allons le diviser en k actifs de valeurs (Si)0≤i≤k. Ces actifs vont fluctuer entre 0 et 1 de la maniére suivante:
Value at risk k actifs

Il faut ensuite décomposer notre portefeuille en holdings: le décomposer comme une somme d'actifs. Par exemple, si notre portefeuille détient ωi titre de l'actif Si, la valeur de ces titres pour le portefeuille sera ωi.Si.
value at risk holdings


Les  fluctuations de nos actifs sont liées à l'évolution de facteur clés, comme la valeur des taux, la credit curve, les taux de changes, les volatilités, etc.... On notera 0R et 1R le vecteur des Q facteurs d’évaluation des actifs respectivement au début de la période et à la fin de l'horizon de temps:

On notera que le vecteur 1R est obtenu par un processus d'inférence statistique (voir schéma en tête de notre article). L'inférence statistique est ici utilisée pour déduire les valeurs des facteurs clé de notre VaR à la fin de l'horizon de temps considéré. Pour ce faire, il est nécessaire de collecter le plus d'observations possibles des valeurs historiques de marché de ces facteurs.  Soit -irj une observation historique au i eme jour précédent notre calcul pour le facteur clé j. Les vecteurs -1r,-2r,...,-Nr sont utilisés pour inférer notre 1R.


Ces vecteur peuvent être utilisée pour une inférence historique simple, ou Ils peuvent être utilisés pour calibrer un modèle de diffusion statistique, par exemple un modèle de taux.


Pour chaque actif Si, on peut déterminer une fonction de pricing Φi dépendante des facteurs clé qui vérifiera la relation suivante:

Si= Φi(1R)

De notre que notre valeur de portefeuille sera exprimée par:
1P=ω11(1R)+ω22(1R)+...+ωpp(1R)
soit
1P= Θ( 1R)
La construction de cette expression de la valeur du portfolio est appelée le mapping Θ. Souvent pour des produits complexes, il n'est pas possible de construire un Θ exact. Il est nécessaire de construire une valeur de Θ approximée. cette approche est appelée un remapping. Il est possible de construire de mappings linéaires ou quadratiques de simplification par exemple (voir Glynn A. Holton, Value-at-Risk: Theory and Practice).

La dernière étape de ce processus est la Transformation.

La transformation de monte carlo


Le mapping et l'inférence que nous avons évoqués ci dessus permettent de construire la valeur future de notre portefeuille et donc les pertes éventuelles associées, mais elle ne permet pas de construire une distribution de probabilité des pertes a l'Horizon T. Or par définition, la VaR est une mesure par quantile qui nécessite une vision statistique.

Pour construire cette distribution des pertes de notre portefeuille, on peut soit proposer une modélisation de cette distribution (normale, quadaratique) soit essayer de la construire par construction de réalisation statistiques (sampling). Cette méthode est appelée méthode de Monte Carlo.

Dans la pratique, il s'agit de construire N réalisations conjointe de nos facteurs clés, et d'évaluer la valeur du portefeuille pour chacune de ces réalisations. Cette opération nécessite d'avoir un nombre de réalisation N important pour réduire l’erreur associée à ce processus. Mais évaluer N fois un portefeuille est un traitement couteux en terme de temps de traitement, il convient donc de trouver un arbitrage entre précision et temps de calcul.

Par ailleurs, il faut noter si l'évaluation par Monte Carlo est beaucoup plus efficiente quand le nombre de paramètres probabiliste dépasse 3. En effet, la complexité de la méthode de monte carlo augmente linéairement avec le nombre de paramètres alors que d'autres méthodes croissent de manière exponentielle.

Formalisation

Supposons que nous avons un couple (0P,1P) construit avec le mapping 1P = θ(1R). Nous pouvons construire par sampling m valeurs de notre vecteur de facteurs {1R[1], 1R[2], … , 1R[m]}. Ceci génère m valeurs du portefeuille {1P[1], 1P[2], … , 1P[m]} car on peut définir 1P[k] = θ(1R[k]).

Pour construire m réalisation de notre vecteur de facteur clés, il existe deux approches distinctes:
  • La méthode historique (et historique adaptée)
  • La méthode aléatoire (Pseudo random vectors)
La description de ces méthodes est hors du scope de cet article de blog. Un dernier point doit être toutefois précisé.

Pour la méthode historique, il est courant d'adapter  les résultats obtenus en ajoutant un bruit blanc. Dans ce contexte, la simulation n'est ni totalement historique ni totalement paramétrique.


Annexes

Why risk is so hard to measure
Jon Danielson & Chen Zhou

Quantile Estimation
Peter J. Haas

Glynn A. Holton, Value-at-Risk: Theory and Practice

jeudi 14 mai 2015

Taxonomie des modéles de taux

Modéles de taux

 

Modèles de taux: Notions.



Le plus connu des modèles mathématiques appliqué à la finance, celui de Black&Scholes, fait l’hypothèse d'un taux sans risque r0 constant dans le temps. Or comme on peut l'observer tous les jours, les taux d’intérêts fluctuent tout le temps.

Pour se projeter dans le futur, la première approche serait d'utiliser la courbe de taux Zero Coupons (voir mon article sur les swaps de taux) qui contient des taux implicites futures qui correspondent aux attentes des acteurs du marché à l'instant présent. Il faut néanmoins comprendre que cette approche a des limites: les taux implicites reflètent les attentes des acteurs du marché mais ces attentes peuvent ne pas se réaliser. Quand on parle du futur, il faut tabler sur un degré d'incertitude qui doit être expliqué par modèle probabiliste stochastique.

Ces modèles sont critiques pour tous les portefeuilles de taux et de dérivés de taux. Les équations différentielles stochastiques qui gouvernent ces modèles s’appellent des équations de diffusions, et elles sont essentielles dans toute les formes d’estimation statistiques des pertes associées à un portfolio. Par exemple: la VaR par simulation de Monte-Carlo.

La catégorisation classique consiste à distinguer les modèles Markoviens, des modèles non-Markoviens. Les modèles Markoviens ne dépendent que de la valeur présente d'une variable d'état et non de son parcours historique. 

Pour bien comprendre le sens de cette propriété, je vais prendre une des question du questionnaire de finance dont j'avais déjà parlé:
Le taux actuariel monte de 1% puis redescend de 1% immédiatement. Combien vaut l'obligation par rapport à l'instant précédent ?
Selon un modèle markovien, l'obligation vaut exactement la même prix avant et après le choc du taux actuariels de 1%. Pour un modèle non-markovien, ce n'est pas vrai en général.

Si cette classification à un sens statistique fort, elle ne permet pas de classifier les modèles, car la majorité des modèles sont Markovien par design. Par ailleurs, certains modèles sont non-Markoviens dans le cas général, mais Markoviens avec certaines fonctions de calibration de leur équation de diffusion.

Je préfère distinguer les modèles suivant la ou les variables d'état qu'ils utilisent.  Pour le praticien, la différence entre les modèles utilisant des variables d'état différente est un facteur plus distinctif.

Je prendrai la même démarche pour distinguer les modèles adaptés à la calibration et ceux qui ne le sont pas ou peu. La calibration par définition est l'adaptation des paramètres d'un modèle mathématiques aux données observées dans le monde réel. Ceci est fait typiquement en prenant un historique de valeur observables et en le comparant aux résultats du modèle pour en ajuster les paramètres. A partir de 1985, tous les modèles sont devenus hautement calibrables avec les données de marchés, ce qui n'était pas le cas des modèles précurseurs.


Définition des variable aléatoires utilisées pour modéliser les taux.


Parmi tous les modèles listés dans cet article, il n'y a que 3 variables aléatoires réelles correspondant à des valeurs de marchés qui sont utilisées: Le Short Rate (taux courts), le taux forward instantané, et le taux forward simple.

Le short rate.


Soit B(t,T) la valeur à l'instant t de l'obligation d'actualisation, il s'agit d'une obligation théorique versant 1 en T (B(T,T)=1. Si on prends une convention continue:
Taux Zero coupon
 Ou R(t,T) est le taux zéro coupon. On note:

Taux sans risque instantanné
Le short rate.

Le Taux forward


Le taux forward est défini comme le taux futur s'appliquant entre deux dates dans le futur [T;T+D]. On note:

Taux forward
On appellera F le taux forward.

Le Taux forward Instantané


Le taux forward instantané est défini comme:

Taux forward instantané

Les modèles: Ce qu'ils doivent expliquer...

Les 3 mouvements indépendants de taux

Une analyse par composante principale fait apparaitre trois composantes indépendantes des mouvements de taux:
  • Le shift: un mouvement parallèle de l'ensemble des taux. Ce paramétre explique 80 à 90% de la variance de taux
  • Le Twist: les taux courts et longs vont dans des directions opposées. explique 5 à 10% des variance de taux
  • Le Butterfly: les taux courts et longs vont dans le même sens, mais les taux moyens évoluent en sens contraire, ceci explique en général 1 ou 2 % de la variance.
On notera que les modèles ayant une seule variable d'état (de dimension 1 en fait) sont mal adaptés à pricer les produits dépendant de la courbature des taux (Butterfly). Dans ce cas, il est souvent nécessaire de créer des modèles ayant deux ou plus variable d'état. Je vous invite à vous reporter aux annexes pour savoir quels modèles peuvent être adaptés pour avoir plusieurs variables.

Les modèles basés sur le short rate


Black Scholes & Merton (1973)
Ce modèle est dérivé de la fameuse formule de pricing des options sur actions et appliquées aux options sur obligations. Il souffre de problèmes majeurs:
  • Il ne prend pas en compte l'évolution de la volatilité quand l'obligation mature
  • Il permet les taux négatifs
  • Le taux court terme est considéré comme constant, mais le taux long terme est stochastique
  • Il ne peut être calibré.

Vacizek (1977)
Le modèle de Vacizek fait des assomptions normales sur la distribution de probabilité des taux. De fait, ce modèle peut construire des taux négatifs.Il laisse aussi la possibilité de construire des opportunités d'arbitrages. Il contient toutefois un terme de retour à la moyenne, mais il est difficilement calibrable (1 seul paramètre), et ne permet pas de s'adapter à la courbe des ZC existante à t=0. De fait, ce modèle a de très mauvaise qualité prédictives, même si il permet d'obtenir des solutions analytique pour pricer des dérivés.

Hull White (1990)
Ce modèle est construit pour être calibré aisément. avec 3 paramètres pouvant être adaptés à la courbe des taux, car Ils dépendent de t. Il est très couramment utilisé pour pricer les options américaines et les swaptions car il s'adapte particulièrement harmonieusement avec les arbres recombinatoires (Markoviens) et les lattices. Il contient un terme de retour à la moyenne. Malheureusement, cette adpation aux procédures numériques se fait aux dépends de l'obtention de solutions analytiques. Des taux négatifs peuvent aussi apparaître dans certains cas limites.
Son plus grand défaut reste toutefois la grande sensibilité des résultats aux procédures de calibration, qui peuvent induire dans le cas d'une utilisation non raisonnée à des résultats aberrants.

Black Derman Toy (1987)
Ce modèle est construit sur une la loi log-normale, ce qui garantit que les taux ne sont jamais négatifs, mais la loi log-normale est moins adaptée à des solutions analytiques. Ces modèles sont donc adaptés à des solutions numériques. Il est couramment utilisé pour construire des méthodes de pricing par arbres binomiaux ou on apprécie sa capacité à se calibrer à partir des prix des caps et swaptions.


Les modèles basés sur le forward rate instantané.


Il s'agit des modèles de Ho & Lee dans le cas discret et surtout de Heath,Jarrow & Morton (1987) dans le cas continu. Ici la variable d'état est de dimension infinie. Il s'agit d'un système d'équation de diffusion liée à une maturité précise. On essaie de construire le vecteur stochastique {fT(t)} avec 0<t<T. Ou f(t,T) est le taux forward instantané en T.

Ce qui est notable dans ce choix de variable d'état, c'est que fT(0) est directement observable, il s'agit de la courbe des taux forwards. la calibration de ce modèle est donc particulièrement aisée.

Un autre point important à noter est que Heath, Jarrow & Morton ont fait une contribution importante en permettant d'exprimer le drift de leur équation de diffusion en fonction de leur fonction de volatilité, de sorte que seul ce paramètre devra être précisé pour obtenir la calibration. Par ailleurs, notons que HJM apporte deux contributions manquantes dans Ho&Lee: l'absence d'opportunité arbitrage et la possibilité de calibrer le modèle pour qu'il soit markovien.

Le modèle basé sur le forward rate.


Il s'agit du modèle Brace-Gatarek-Musiela (BGM)  aussi appelé LIBOR market Model (LMM) qui modélise les taux forwards directement observables sur les marchés.

Dans la pratique, les taux forwards sont ceux du LIBOR 3 mois. De sorte que modéliser la courbe des taux sur 20 ans, nécessite de trouver un vecteur de 4*20=80 variables stochastiques.

Ce modèle non markovien répond au critiques qui entachaient les modèles précédents:
  • Pas d'arbitrages.
  • Calibration par la courbe complète des taux forwards observés en t=0.
  • Multi facteurs.
  • La structure de la volatilité forward est respectée
La contrepartie de ces avantages est que ce modèle ne permet pas en général d'obtenir des solutions analytique pour le pricing, il est uniquement adapté à des méthodes numériques.


Annexes

Modelling the term structure of interest rates: a review of the literrature.
R. Gibson, F.-S. Lhabitant, D. Talay

LIBOR market model
Andrew Lesniewski

Pricing des Total return Swaps (TRS)


TRS - TRS cash flows

Total Return Swaps (TRS) : généralités.


Un TRS est un contrat bilateral portant sur l'échange des flux d'un titre de référence contre un paiement périodique fixe ou variable jusqu’à la maturité du contrat ou au défaut du titre. Les TRS sont des instruments hybrides qui exhibent les caractéristiques des dérivés de crédits et des Pret/emprunts titres. Les titres de références peuvent être des obligations, des indices d'action, des commodities, des RBMS, etc...

La première contrepartie s'engage à payer les flux émis par le titre de référence, elle sera appelée " Total return payer",  ou parfois beneficiary ou Credit protection Buyer. 

La seconde contrepartie va s’acquitter d'un paiement périodique fixe ou variable, dans la pratique ce paiement est souvent de type LIBOR+ spread. Elle s'appellera le Guarantor,Total return recevier ou credit protection seller.

Notez que la propriété du titre de référence pendant la durée de vie du contrat n'est pas transférée au Guarantor. De même, le contrat TRS ne s'étend en général pas jusqu’à la maturité du titre de référence. Par exemple, un contrat TRS peut avoir une maturité 5 ans et porter sur une obligation de référence de maturité 30 ans.

Si la propriété du titre n'est pas transférée durant le contrat, une vente à terme au MtM ou a un prix convenu d'avance à l'initiation du contrat est possible à la maturité si le contrat le stipule.

Comme on l'a dit, les paiements du garantor sont souvent modelé comme LIBOR+spread. Notons toutefois que ceux-ci sont mitigés par les flux issus du titre de référence et par la revalorisation du titre de  référence. Prenons un exemple trivial pour clarifier cette assertion.  Imaginons que le titre de référence soit une obligation de nominal 100 versant un coupon de 10 € tous les trimestres. Par ailleurs, par rapport trimestre précédent, le titre de référence s'est apprécié de 1 euros. Supposons que le guarantor doivent acquitter d'un paiement contractuel de 5 euros. Étant donné que la somme des flux est positive, il n'est pas nécessaire pour lui de faire de versement ! Il recevra sans mise initiale la somme (Coupons - Paiement + Plus-value), soit 6 euros.

Mais les obligations du guarantor s'étendent aussi au défaut pouvant affecter le titre de référence. Dans le cas d'un défaut, Le guarantor devra, comme pour les CDS, réceptionner le titre et payer son nominal, ou payer une somme correspondant à la perte du beneficiary (1 - recovery rate).

Notons qu'a la date du défaut les intérêts courants non échus (ICNE/accrued interests) du titre de référence et de la prime du guarantor sont dues entre les parties.

Comme la capacité du Guarantor à compenser le total return payer est primordial pour celui-ci, on comprends que le spread associé aux payement du guarantor reflète sa qualité de crédit. Le spread de TRS est donc au moins égal au spread de crédit du guarantor. Les autres facteurs affectant le spread:
  • La qualité de crédit du titre de référence.
  • Le cout de financement du bénéficiaire.
  • La valeur du titre de référence.
  • Les marges commerciales du bénéficiaire.

TRS : répartition des risques entre les contreparties


Du point de vue du total return payer, les flux du titre de référence sont transférés, ce qui assure que le risque de remplacement de marché associé à ce titre est supprimé. De la même maniére, comme le vendeur de protection compense le défaut, le risque de crédit du titre de référence est aussi supprimé. Il est par contre remplacé par le risque de crédit associé au guarantor.

Dans la pratique, le total return payer peut se permettre de remplacer le titre dans son book par une position synthétique payant LIBOR+spread sur la durée du TRS. Un TRS sert donc pour le total return payer à faire disparaître un titre de ses actifs.

Le Guarantor est lui complétement exposé au risque de marché et de crédit du titre de référence . Il est par contre important de noter que le Guarantor reçoit le revenu du titre de référence sans s'en être porté acquéreur. Il s'agit pour lui d'une opération de levier: Les revenus du titre sont amplifiés par Leverage.

On voit ici que les bénéficiaires sont des institutions disposant de nombreux titres et très averses pour des raisons réglementaires au risques de marché de marché et de crédit. Leur coût de financement est traditionnellement bas.  Il disposent de départements dédiés à la vente de dérivés de crédit: Il s'agit en général de banques d'investissements.

Les guarantor eux sont des institutions avides de rendement qui ont les possibilités légales de mettre en place un levier important (pas de reporting réglementaire). Leur coût de financement est élevé et ils ne peuvent pas acquérir les titres à leur valeur nominale: il s'agit de Hedge Funds.

Les TRS peuvent donc servir à implémenter un arbitrage de coûts de financement: Les banques empruntent à faible taux, elles achètent des titres, qui sont utilisés pour structurer des TRS vendus à des hedge funds.  Comme ces derniers ont des coûts de financement élevés, ils sont friands de produits comme les TRS qui offrent un financement peu cher et un levier important.

Il y a toutefois des risques systémiques très important dans ces montages pour les banques d'investissements. En effet, même si les banques peuvent exiger une collatéralisation importante des hedge funds, ces derniers demeurent des acteurs très risqués des marchés financier, car selon le droit américain, les hedge fund ne sont pas tenus de publier leurs comptes ou leur degré de levier. Les banques ne peuvent donc pas connaitre précisément les risques de contrepartie des hedge-funds.

Dans le cas d'un crise du crédit  comme celle de 2007, les hedge funds impliqués impliqués dans des TRS seraient bien en peine d'assurer leur rôle de protection de crédit. En effet de par leur positions sur les marchés, les hedge fund sont exposées à la contagion du risque de crédit: une corrélation entre le défaut du titre de référence et celui du hedge fund.

Cette contagion du risque de crédit aux hedge funds constitue une situation typique de Wrong Way Risk pour les banques: Leur dépendance envers la protection des hedge funds augmente avec le risque de voir ceux-ci faire défaut.

Dans un prochain article, nous allons décrire la modélisation utilisée pour pricer les TRS en fonction des facteurs de contagion.





Annexes:

Total Return Swap Valuation with Counterparty Risk and Interest Rate Risk
Anjiao Wang, Zhongxing Ye



Counterparty risk and the pricing of defaultable securities
Robert A. Jarrow and Fan Yu

http://www.tavakolistructuredfinance.com/trs/

Total Return Swaps: Credit Derivatives and Synthetic Funding Instruments
Moorad Choudhry
 

dimanche 3 mai 2015

Question d'entretien en finance de marché: Call en delta hedge

Gamma call

Questions d'entretiens en finance de marché.

Je suis récemment tombé sur une liste de questions posées en entretiens de finance de marché réalisées par un professeur du master IFMA de l'université Pierre et Marie Curie rattaché à Jussieu.

Parmi ces questions, une question en particulier à attirée mon attention:

On est short d’un call européen, et on se delta-hedge. On sait qu’il va y avoir un saut du sous-jacent. Quel sens du saut nous est le plus avantageux ?

Je dois vous avouer que je n'avais aucune idée de comment répondre à cette question. En interrogeant mes collègues, il ne m'a pas été possible de faire apparaître un consensus (:-p).

Jusqu’à ce que je tombe sur ce document de Jean-Baptiste Desquilbet qui est issu du même alma-mater que moi (ah Université de Lille 1 -Villeneuve d'asq - jeunesse enfuie).  Je vais étendre cet étude mais l'analyse déterminante vient de ce document.

Étudions les termes du problèmes


Prenons notre call européen, la position que nous avons initiée est short. Cette expression peut avoir un sens différent suivant le contexte. Si nous sommes un market maker, cela veut dire que nous avons émis un Call avec un Strike et un premium que nous avons choisis et que nous l'avons vendu à une autre contrepartie.

Si on est pas market maker, cela signifie que l'on est allé trouver son courtier pour initier un short sale:

 

Rappelons qu'un Call est croissant avec le prix du sous jacent. Un short call lui est décroissant avec le prix du sous-jacent.

Comme le pay off d'un call peut monter jusqu’à l'infini, quiconque shorterait le Call se retrouverait avec un Pay-Off négatif et possiblement infini. Le risque de perte à la hausse est donc plus fort que le risque de perte à la baisse si l'on détient le short Call sans couverture.

Concernant le delta hedging, rappelons que δ= ∂C/∂S ou S est le cours du sous-jacent. Quand on se delta hedge, on essaie de maintenir ce δ le plus proche de 0 en ayant une stratégie de couverture. Ce delta-hedging est une stratégie dynamique: Des fortes variations du cours du sous-jacent rendent la couverture inefficiente, il faut réajuster la couverture de manière régulière. Ceci traduit le fait que l'option n'a pas un rapport linéaire avec le cours du sous-jacent.

Cette stratégie est couteuse en théorie,et encore plus couteuse en pratique (frais de transactions), et ce coût est croissant avec le nombre de réajustements. Additionnellement, à l'équilibre, Black & Scholes théorise en l'absence d'AOA que le rendement de cette stratégie est le rendement sans risque.

Black&Scholes (1973):

Black Scholes - hedging


Comme vu ci-dessus, la stratégie de couverture d'un short call est l'achat long de δ sous-jacent.

Solution


Il y a deux façons de voir ce problème:
  1. On considère que le réajustement de couverture est en défaut (1)
  2. On considère qu'un réajustement de couverture suffisant à eu lieu (2)
Notons t0 et t1, S0 et S1 les dates et les cours associées à l'avant du saut et après le saut. En t0, on achète δ0 titres de couvertures.

Dans le cas (1),  En t1, le nombre de titres de couverture devrait être  δ1. Il y a donc un écart de couverture de δ0-δ1.  Le prix d'un call étant strictement croissant avec le sous-jacent, si les cours baissent δ1 < δ0. Si les cours montent  δ1 > δ0. Un short-call à un comportement diamétralement opposé, δ est décroissant par rapport à S et négatif. Si les cours montent, δ1 < δ0. Par définition, ΔV (call) = δ.ΔS.

Comme nous détenons δ0 actions, le ΔV de cette position est δ0.ΔS. En tenant compte du short, le ΔV de valeur de la stratégie est:



Short call delta



Si ΔS>0 ==> δ1<δ0 ==> ΔV<0 et inversement si ΔS<0. Par exemple : δ0= - 50% et δ1= - 95%

On voit donc qu'il vaut mieux que les prix baissent. Instinctivement on comprend que la couverture est insuffisante.

Dans le cas (2), le delta hedge est considéré comme parfait, ce qui nous assure que ΔV =0 pour notre stratégie. Néanmoins, le sens du saut n'est pas indifférent en terme de coût de couverture. En effet,

Supposons que le prix du sous-jacent baisse (S0>S1)

  • δ augmente, δ1>δ0 mais avec δ toujours négatif. 
  • On met en place une couverture de - δ1 titres. On doit donc vendre  δ1 -δ0 >0 des titres achetés à S0 au cours S1.
  • On réalisera que cette couverture implique d'acheter haut pour vendre bas.
Le saut vers le bas est donc le plus couteux en terme de couverture. On arrive donc à la conclusion inverse.

Je conclurait que cette question est en quelque sorte purement académique. Dans le cas d'une vraie situation de trading, il faudra utiliser les expressions algébriques des valeurs du Call/Put pour faire une évaluation numérique.






vendredi 1 mai 2015

Comment pricer les CDS : la credit curve



CDS pricing

Dérivés de crédits: les CDS.

Les CDS sont des contrat à terme liant deux partes dont les termes sont standardisés par L'ISDA. Ce sont des dérivés de crédit.

Ces contrats stipulent que le vendeur du contrat offre une protection à l'acheteur contre un événement de crédit affectant un titre de référence. En échange de cette protection, l'acheteur paie une prime (premium) versée selon une fréquence déterminée à l'avance et exprimée en point de base. On parle aussi de spread. Ces paiements se poursuivront jusqu'au premier événement survenant: soit jusqu’à la maturité du contrat, soit jusqu'à un défaut.

Les contrats CDS peuvent spécifier une livraison physique ou une compensation en espèces. Dans le cas d'une livraison physique, une enchère dirigée par L'ISDA va déterminer le titre de séniorité minimum (Cheapest To Deliver) pouvant être livrée au vendeur de protection en échange d'un paiement de la valeur faciale du contrat. Dans le cas d'une compensation en espèces, le vendeur rendra le nominal à l'acheteur. D'un point de vue pricing les deux modalités sont équivalentes.

En fonction, de la nature du titre de référence, il est possible de définir un recovery rate R, qui correspond au ratio des actifs pouvant être réclamés dans le cadre du règlement judiciaire du défaut.

Enfin, Il est bon de noter que:
  • Certains titres contiennent des paiements à l'initiation du contrat, ou Points Up Front (PUF)
  • Lorsque un événement de crédit survient, la grande majorité des contrats stipulent un paiement des intérêts courants non échus (Premium accrued).
Par ailleurs, on notera qu'il est possible de démembrer un contrat CDS en 2 pattes, la patte premium  qui verse tous les premiums, et la patte de protection (protection leg) qui offre un unique versement en cas de défaut.

Dans tous les cas, un contrat CDS juste émis à une valeur égale à 0, et ses pattes sont égales.

Mark to Market (MtM)


Nous allons essayer de déterminer quelle est la valeur de marché d'un contrat CDS en faisant le minimum d'assomption sur les mécanismes qui régissent les prix des CDS. 
Supposons qu'un investisseur ait acheté un CDS de maturité 5 an portant sur une obligation de même maturité émise par l'entreprise Tartentpion (inc). En échange de cette protection, il paye 60 pdb annuellement avec une fréquence trimestrielle.
1 an s'écoule, et notre investisseur souhaite connaitre la valeur de marché de son contrat.A cette date, il est possible d'acheter une protection contre le défaut de Tartenpion pour 170 pdb pendant 4 an. Comme un CDS émis vaut toujours 0 (comme pour un swap), on note:

Valeur de marché de la Protection de 4 ans  = espérance de paiement du prémium de 170 pdb pendant 4 ans

Comme par ailleurs, la patte protection offerte par le nouveau contrat est identique à celle du contrat précédent, on a:

MTM= espérance de paiement du prémium de 170 pdb pendant 4 ans - espérance de paiement du prémium de 60 pdb pendant 4 ans.

Si on note:
- Tv: la date de valorisation d'un contrat.
- Tn: la maturité du contrat
- RPV01 (Risky Present value of 1 pdb): l'espérance statistique d'un paiement de 1 pdb jusqu'au défaut ou la maturité.
- S(Tv,Tn) : le spread contractuel versé entre Tv et Tn.

On obtient:
MTM CDS

 Modèle de Crédit


Il est bon de noter que alors que le pricing des swaps est basé sur des flux certains, les flux des CDS sont incertains et donc nécessitent un modèle statistique de pricing.

Nous allons appliquer les concepts d'une branche des statistiques appelées survival analysis. Ces outils vont nous permettre de de définir une probabilité cumulative de survie en t S(t), et un taux instantané de défaut ou hazard rate λ(t). Les probabilités de survie que nous allons détailler sont des cas particuliers de la loi de poisson.

Nous allons supposer que la survie du titre suit une loi telle que:
Hazard rate CDS
Lire: la probabilité de défaut entre t et t+dt conditionnelle à la survie en t est proportionnelle au hazard rate.On peut démontrer que :
CDS probabilité conditionnelle
Il en découle que en faisant tendre dt-->0, on obtient:

Equation différentielle CDS
soit:
Survival CDS


Pour être exploitable ce modèle compte fait plusieurs assomptions:
  • S(t) et λ(t) sont totalement indépendant des taux.
  • λ(t) est déterministe.
  • le Recovery rate R est indépendant de λ(t).
Ces assomptions sont fausses dans le cas général mais le back testing indique que les erreurs sont acceptables même si elles ne sont pas négligeables.

On appellera la courbe des  λ(t) la credit curve.

Dans la suite de ce document, nous allons appeler D(t) (D comme Discount) le terme d’actualisation s’appliquant aux flux du CDS et construit à partir des courbes Zero coupons à risque nul.
On notera par ailleurs R le recovery rate ou taux de récupération des actifs dans le cas d’un règlement judiciaire.On omettra le terme multiplicatif de la valeur faciale N. Il est par ailleurs facile de le rajouter.


Valorisation de la patte de protection.


Cette patte de protection contient un seul flux incertain de montant 1-Rau moment du défaut. La valeur actuelle de ce paiement est donnée en notation continue par:

[1-RC]

Ou C constitue le Claim, Il s'agit de la valeur facile du titre de référence et des intérêts courants non échus sur le titre de référence.  Ceci est exprimé comme R.C=R.(1+A(s)). Par souci de clarté nous omettrons ce terme en ne gardant que [1-R]. Mais en omettant ce terme, nous avons tendance à sous estimer le risque associé au défaut. La valeur du CDS est aussi moindre en tenant compte des intérêts courants non échus sur le titre de référence car ces ICNE ne sont pas couverts par le CDS.

Nous allons appliquer notre modèle probabiliste à ce flux incertain :
  • On établit la probabilité de survie jusqu'à s à S(s).
  • Sur le prochain intervalle [s ;s+Δs], la probabilité de défaut est de λ(s).Δs et donne un Pay-Off de 1-R
  • On actualise ce flux de 1-R par D(s).

Pricing patte de protection CDS


On obtient donc [1-R].D(s).S(s).λ(s).ds. En considérant la période courant de t à la maturité T du CDS, on évalue l’espérance de gain comme :
Patte de protection CDS
Sans information supplémentaire sur la structure de λ(s), il est nécessaire de procéder à une intégration numérique avec m points d'évaluations. Jarrow & Turnbull justifie que l'erreur introduite numériquement est de l'ordre de r/2M ou r est le taux sans risque.

Valorisation de la patte de premium.

Suivant le même raisonnement on établit :
valeur patte premium CDS
Ou p est le premium.

On notera que conformément à ce qui est évoqué plus haut, le MtM utilise une grandeur RPV01. Cette grandeur est définie et permet d'exprimer Ppremium= p.RPV01.

La valeur d’un contrat détenu par l’acheteur de protection est donc:


Relation hazard rate au spread.


A l'initiation d'un CDS sa valeur 0, si par ailleurs on considère que λ(s) est constant, on obtient la relation:
Relation hazard rate au spread
ici λ doit être interprété comme la probabilité de défaut sur la période concernée.

Application au cas discret


Si au lieu d'utiliser le continuous compounding, on utilise des intérêts annuels discrets, avec des paiement par arriéré la notation devient:

Mais attention, si on compte les Premium Accrued (PA), la formule de vient nettement plus compliquée:

Valeur patte premium Accrued ICNE
Jarrow et Tunbull (voir annexe proposent une approximation de cette expression). Si les PA ne sont pas pris en compte, il déduisent que l'on s'expose à une erreur de :
Jarrow Tunbull error PA
ou f est la fréquence de paiement.



Annexe

Takis Konstantopoulos

Alan White, John C. Hull (2000)

Valuation of Credit Default Swaps. (PDF)
Dominic O'Kane, Stuart TurnBull (2003)

 Par Geoff Chaplin

The Pricing and Risk Management of Credit Default Swaps with a focus on the ISDA Model
Richard White (2014)



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